전체 글102 4-4. 푸리에 급수를 복소 지수로 표현 푸리에 급수를 복소 지수 형태로 변환하는 과정을 알아보자.즉, 사인함수로 표현한 푸리에 급수식을 복소 지수 형태로 바꾸는 것이다.사인함수 표현\[ \begin{aligned} y(t) &= a_0 + \sum_\limits{n=1}^\infty (a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t) \quad\ldots\quad\text{Eq. 1} \\ a_0 &= \frac{1}{T} \int^T_0 y(t)dt \quad\ldots\quad\text{Eq. 1-1} \\ a_n &= \frac{2}{T} \int^T_0 y(t) \cos n\omega t dt \quad\ldots\quad\text{Eq. 1-2} \\ b_n &= \frac{2}{T} \int^T_0 y(t) .. 2026. 4. 9. 4-3. 매클로린 급수, 오일러 공식 지금까지 복소 평면에서의 원의 함수 식, 그리고 복소 지수함수와 그에 대한 미분 값을 알아 보았다.$C(x) = e^{ix}$를 증명할 수단으로 "매클로린 급수"를 사용할 것이다. 원의 함수 식: $C(x) = \cos x + i\sin x$복소 지수 함수: $e^{ix}$매클로린 급수매클로린 급수 혹은 매클로린 전개는 아래와 같은 다항식이며, 어떠한 함수라도 이와 같은 형태로 표현할 수 있다고 한다.$$ f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5 + ... $$위의 식을 다음과 같이 정리할 수 있다.$$ f(x) = \sum_\limits{n=0}^\infty a_nx^n $$예를 들어, $ f(x) = 4x^4 + 2x^2 + 3x + 1 $을 매.. 2026. 4. 6. 4-2. 복소 지수, 자연 상수 복소 평면에서 반지름이 1인 원을 그리는 함수를 다음과 같이 표현했었다.$$ C(x) = \cos x + i\sin x $$ 결론부터 말하자면, 위 식은 $e^{i\theta}$와 같다.이를 증명하기 위해서는 $C(x)$를 일반 다항식으로 바꾸고, 이것이 $e^{ix}$와 같다는 것을 먼저 보여야 한다.오일러 수$e$(자연 상수)는 "오일러 수"라고도 불리며, 약 2.718 정도의 값을 갖는 무리수이다.그리고 $e^x$를 미분한 값은, 그대로 $e^x$가 되는 성질을 갖고 있다.$$ (e^x)' = e^x $$미분미분한 값이 자기 자신이 된다는 것을 이해하기 전에 미분에 대해서 간단히 알아보자.$y=x$를 미분하면 1이 된다.즉, $x$의 값 어디에서든 기울기($x$의 단위 증가에 따른 $y$의 증가분).. 2026. 2. 5. 4-1. 복소 평면, 복소 평면의 원 복소 평면복소 평면(가우스 평면)이란 실수와 허수를 모두 표현하기 위한 평면 공간이다.허수 $i$는 $x^2=-1$을 만족하는 수를 표현하기 위해 도입되었다. 일반적으로 알고 있는 평면 공간은 $x$축과 $y$축으로 표현한 2차원 실수 공간이다.복소 평면은 $x$축을 실수, $y$축을 허수로 표현하는 공간이다. 복소 공간에서 $a+bi$는, 실수 공간에서의 좌표 $(a,b)$라고 생각하면 쉽다.덧셈으로 표현한 것은 벡터의 표현 방법이다.벡터 표현을 사용한 이유는 실수 2차원 공간에서는 허수 축 값에 대한 $i^2=-1$이 되는 특성이 없다.따라서, 원의 회전이나 전기 신호에서의 위상차 등의 표현이 힘들지만 복소 평면을 이용하면 표현이 가능하다.정적인 좌표를 나타낼 때는 실수 좌표계, 동적인 성질을 표현해.. 2026. 2. 5. 4. 푸리에 급수의 복소 지수 표현 이전에 알아 본 푸리에 급수의 사인 함수 표현은, 다음과 같다.$$ \begin{aligned} &y(t) = a_0 + \sum_\limits{n=1}^\infty a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t \\& a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T y(t) dt \\& a_n = \frac{2}{T} \int_0^T y(t) \cos n\omega t dt \\& b_n = \frac{2}{T} \int_0^T y(t) \sin n\omega t dt \end{aligned} $$ 푸리에 급수의 복소 지수 표현은, 우선 다음과 같다.$$ \begin{aligned} &y(t) = \sum_\limits{n=-\infty}^\infty C_n e^{i n \om.. 2026. 2. 4. 3. 푸리에 계수 푸리에 급수는 다음과 같다.아래는 주파수 $f$를 사용한 표현이다.$$ y(t) = a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cos (2\pi nft) + b_n \sin (2\pi nft) $$ 이전에, $\theta = \omega t = 2\pi f t = \frac{2\pi t}{T}$임을 알아봤었다.즉, 각속도($\omega$)와 주기($T$)를 사용한 표현은 다음과 같다.$$ \text{각속도}: y(t) = a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cos (n\omega t) + b_n \sin (n\omega t) \\ \text{주기}: y(t) = a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cos (\frac{2\pi .. 2026. 1. 29. 이전 1 2 3 4 ··· 17 다음
